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Fil:Monzón, Gabriel. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.

En esta tesis analizamos estimaciones de error a posteriori para la versión p del método de elementos finitos (FEM). En primer lugar, mostramos las diferencias que surgen entre el caso unidimensional y bidimensional, al considerar indicadores de error de tipo residual para el problema de Poisson con datos de borde de tipo Dirichlet homogéneos. Mientras que en el caso unidimensional, usando indicadores de error con pesos, se obtienen estimaciones a posteriori para la versión hp de FEM con constantes de equivalencia con la norma energía del error independientes de h y de p [DH], aún no se tienen resultados análogos en más dimensiones. En efecto, las técnicas utilizadas en [DH] no pueden simplemente generalizarse al caso bidimensional y, hasta el momento, para estimadores de tipo residual no se ha podido demostrar que los estimadores propuestos sean equivalentes a la norma energía del error con constantes de equivalencia independientes de p, i.e., del grado del polinomio involucrado. Sin embargo, en esta tesis mostramos que estimaciones de error a posteriori casi-óptimas se pueden obtener si trabajamos en espacios de Jacobi-Sobolev con pesos. Usualmente para hacer un análisis a posteriori del método de elementos finitos se necesitan estimaciones de interpolación para funciones en espacios de Sobolev, así como estimaciones inversas para funciones polinomiales. Por lo tanto, para construir un interpolador en espacios de Jacobi-Sobolev con pesos, introducimos primeramente los polinomios de Jacobi y mostramos sus propiedades para luego llevar a cabo un análisis pormenorizado de la dependencia, tanto del grado del polinomio como del peso, de las constantes involucradas en nuestras estimaciones. Presentamos también un análisis de las estimaciones inversas presentes en la bibliografía, con especial cuidado en estudiar como dependen las constantes del peso que se este considerando. Posteriormente, para el problema modelo de Poisson en dos dimensiones, proponemos un estimador con pesos para la versión p de FEM, y utilizando nuestros resultados de interpolación y las estimaciones inversas, mostramos que estos estimadores son equivalentes al error en alguna norma adecuada, con constantes óptimas en p. Finalmente, mostramos como nuestros resultados se pueden generalizar a la versi´on hp de FEM.