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La respuesta a muchos de los problemas de interés en ciencias experimentales requieren el estudio de una o varias variables Y (respuesta/s) en función de otras variables X (predictores). Desde el punto de vista de la estadística, esto significa estudiar la distribución condicional de un vector Y r-dimensional, dado el vector X p-dimensional. Cuando el número de predictores p es grande, casi todos los métodos usados para estudiar esta relación incluye algún tipo de reducción en la dimensión de X. Los métodos estadísticos más recientes son aquellos establecidos bajo el paradigma de reducción suficiente de dimensiones. Su premisa es la obtención de una reducción de los predictores R(X) d-dimensional con d menor que p, sin que ésta pierda información acerca de la respuesta en el sentido que Y dado X tiene la misma distribución que Y dado R(X). En esta tesis trabajamos bajo el enfoque basado en la suposición de un modelo parámetrico para la regresión inversa X dado Y. El atractivo de este enfoque es que cuando la respuesta es univariada, X dado Y consta de p regresiones univariadas las cuales son sencillas de modelar, contrariamente a lo que ocurre cuando se modela Y dado X. El objetivo de esta tesis es desarrollar una metodología de reducción suficiente de dimensiones asumiendo que la distribución de X dado Y pertenece a una familia exponencial a k parámetros naturales . Para este modelo identificamos la reducción suficiente minimal, obtenemos estimadores de máxima verosimilitud para dicha reducción y estudiamos sus distribuciones asintóticas. Además, mostramos ejemplos y simulaciones para ilustrar las conexiones, diferencias y ventajas de nuestro método con los ya existentes. Para poder desarrollar este trabajo es necesario, en primer lugar, estudiar en detalle los modelos lineales generalizados multivariados de rango reducido.

El objetivo de esta tesis es analizar los modelos matemáticos que rigen el flujo monofásico de petróleo hacia un pozo productor y aplicarlos a problemas de ingeniería de reservorios. Estos modelos tienen gran importancia práctica, pues rigen el movimiento de fluidos durante los llamados ensayos de pozo, que se realizan a fin de estimar propiedades del pozo o del reservorio en su conjunto. Tradicionalmente en la interpretación de los ensayos se han aplicado modelos unidimensionales con propiedades (permeabilidad, porosidad) constantes. La originalidad de los modelos desarrollados en esta tesis es que introducen nuevos parámetros en el simulador de ensayos de pozos. Ellos son: 1. un modelo unidimensional que contempla las variaciones radiales de permeabilidad y porosidad; 2. un modelo bidimensional que, al considerar la coordenada vertical, permite analizar el flujo vertical de fluidos (regido por la permeabilidad vertical) y los efectos gravitatorios, amén de las heterogeneidades de permeabilidad y porosidad en ambas direcciones. Para obtener la solución numérica, tanto en el caso unidimensional como en el bidimensional, se ha aplicado una familia de esquemas en diferencias finitas que depende de un parámetro θ , 0 ≤ θ ≤ 1. Se demuestra que los esquemas resultan incondicionalmente estables para θ ≥ ½, y para θ < ½ se establecen condiciones de estabilidad. Bajo estas hipótesis de estabilidad y analizando la consistencia, se demuestra la convergencia de la solución numérica a la solución real de la ecuación diferencial. En el caso bidimensional, se compara la eficiencia de tres métodos para resolver el sistema lineal de ecuaciones resultante: TSMF (basado en el desarrollo en serie de funciones matriciales) y dos técnicas iterativas tradicionales ADI y block-SOR, adaptadas a este problema particular. Se concluye que la técnica block-SOR es recomendable cuando debe simularse un lapso prolongado, usando un incremento de tiempo variable, mientras que TSMF es el más conveniente para simulaciones cortas, ya que el incremento temporal permanece acotado y pequeño. ADI no presenta ventajas significativas con respecto a las otras dos. Finalmente, se aplican los modelos desarrollados a problemas de ingeniería de reservorios: a) Determinación de parámetros característicos de la roca-reservorio (permeabilidad, porosidad, etc.) a partir de la interpretación de ensayos de pozos. b) lnfluencia de las heterogeneidades en la respuesta de presión obtenida durante un ensayo. c) lnfluencia de la permeabilidad vertical en las respuestas de presión y caudal obtenidas durante un ensayo.

Este trabajo consta de tres partes, que en principio parecen ser bastante diferentes, pero tienen como hilo conductor la toma de decisiones que debe realizar una persona, un grupo de personas, un equipo, etc. Cada una de las partes de este trabajo es autocontenida. La primera parte trata sobre tres diferentes enfoques del Problema de Identificación de Grupos. Este problema surge cuando un grupo de individuos debe identificar a un subgrupo del mismo como poseedor de alguna propiedad en particular. En el primer caso, sea N un conjunto finito de agentes cada uno teniendo una opinión sobre cuál de ellos debe pertenecer a un grupo específico, que llamaremos J. Llamamos Funci´on de Identidad Colectiva (FIC) al agregador que mapea del conjunto de opiniones a un subconjunto de N. Kasher & Rubinstein (1997) caracterizan diferentes FICs de una forma axiomática. Consideramos versiones alternativas del axioma liberal que Kasher & Rubinstein incluyen en su trabajo, que son más naturales en ciertas situaciones. Esto nos permite caracterizar tres agregadores diferentes y probar que estas FICs son las únicas que verifican las correspondientes versiones del axioma. Más aún, hallamos un resultado de imposibilidad para una versión extrema del axioma liberal. Luego, analizamos el mismo problema cuando el grupo de agentes es infinito. Este caso es relevante en casos en los cuales el grupo cambia en el tiempo y/o es sujeto a la incertidumbre. Trabajamos particularmente con las FICs Liberal y Oligárquica, caracterizadas por Kasher & Rubinstein. Mostramos que en el marco infinito el resultado liberal sigue siendo válido, pero el resultado no se mantiene para el caso oligárquico, dando una caracterización de todos los agregadores que verifican los mismo axiomas que la FIC Oligárquica. Por último, volvemos a trabajar con un número finito de agentes, pero ahora las opiniones de los votantes son difusas. Cada agente i tiene una opinión sobre el resto de los miembros de la sociedad, que consiste en una función pi : N ! [0; 1], que indica el grado de membresía de un agente al grupo J. Consideramos el problema de agregar esas funciones, satisfaciendo distintos conjuntos de axiomas y caracterizando nuevos agregadores. Mientras algunos resultados son análogos al caso binario, la versión difusa nos permite dejar de lado ciertas imposibilidades probadas por Kasher & Rubinstein. La segunda parte del trabajo, presenta un proceso diferente al habitual en teoría de Social Choice. El procedimiento usual consiste en postular una serie de propiedades que se desean que un proceso de agregación verifique, y encontrar a partir de allí las características de la correspondiente función de elección social y los resultados que pueden surgir de cada posible perfil de preferencias. Nosotros invertimos esta línea de razonamiento y a partir de lo que llamamos situaciones sociales (cada una de ellas consistiendo en un perfil de opiniones y el orden social asociado), obtenemos el criterio verificado por el proceso de agregación implícito. Este proceso de inferencia, que extrae información intensional de la extensional, puede ser visto como un ejercicio en estadística cualitativa. La última parte de este trabajo, puede ser considerada dentro del área de Matemática del Deporte. Usando simples herramientas de teoría de juegos, comparamos el nivel de "ofensividad" que los equipos de rugby tienen bajo distintos sistemas de puntuación usualmente usados en algunos de los torneos más importantes del mundo. Comparamos tres sistemas de puntuación distintos. Un sistema otorga cuatro puntos al equipo ganador, dos a ambos equipos en caso de empate y ningún punto al equipo perdedor. El segundo sistema, además de otorgar los mismos puntos que el primero, da un punto extra al equipo que anota cuatro o más tries, y al equipo perdedor si es que pierde por menos de un try. El último sistema, da un punto extra si el equipo ganador anota tres tries más que el oponente, y al equipo perdedor si es que pierde por menos un try. Usando un modelo estático, mostramos que los equipos se vuelven más ofensivos cuando el punto extra se otorga por anotar cuatro o más tries. También mostramos que no otorgar punto extra hace a los equipos más ofensivos que darlo por anotar tres tries más que el rival. Finalmente, usando un modelo dinámico en un ejemplo y ciertos resultados de Masso - Neme (1996), comparamos los conjuntos de pagos factibles y de equilibrio. Obtenemos ahora que el sistema que otorga un punto extra por anotar cuatro o más tries tiene una mayor y mejor región de pagos factibles y de equilibrio que los otros dos sistemas. A diferencia del modelo estático, en este caso es preferible el sistema que otorga un punto extra por anotar tres tries más que el rival al sistema que no otorga ningún punto extra.

El cerebro es un sistema dinámico cuyas variables de estado codifican la información sobre el mundo exterior. Entender cómo las neuronas procesan e integran las señales de entrada requiere entender sus acciones cooperativas, en vez de describir únicamente su actividad como elementos individuales. No obstante, construir una aproximación apropiada de la actividad colectiva en la corteza cerebral resulta una tarea difícil. En particular, se han propuesto modelos de máxima entropía para investigar correlaciones entre pares en poblaciones de neuronas, que han logrado describir efectivamente la actividad de ciertas regiones como la retina. Sin embargo, desviaciones de este modelo indican que las correlaciones de alto orden tienen que ser tenidas en cuenta para lograr un modelado realista en general. En esta Tesis, abordamos esta problemática a partir de dos enfoques particulares. En una primera parte, presentamos un estudio basado en la descomposición de la información transmitida por una población pequeña de neuronas. En el capítulo 3, elaboramos una extensión de la expansión en series para ventanas temporales cortas en el marco previo, para estudiar las contribuciones de los tripletes a la codificación del estímulo. Luego, en el capítulo 4, introducimos los estimadores apropiados para el enfoque desarrollado. En segunda instancia, profundizamos un modelo poblacional sencillo mediante la introducción de correlaciones de alto orden. En el capítulo 5, presentamos esta extensión obteniendo analíticamente la distribución conjunta de disparos poblacional asintótica en este contexto. Luego, en el capítulo 6, estudiamos cómo se relacionan las estadísticas de las señales de entrada comunes al conjunto de neuronas con las de sus patrones de disparo. Finalmente, en el capítulo 7, evaluamos este modelo funcionalmente a medida que consideramos grupos neuronales de distinto tamaño.

La actividad eléctrica del cerebro puede considerarse gobernada por una dinámica no lineal y caótica. Por ello la física de los sistemas din amicos ha hecho y hace aportes muy significativos al entendimiento del cerebro. En particular, la Teoría de la Información mostró, a partir de los trabajos de Kolmogorov y Sinai, conexiones muy profundas con la de Sistemas Dinámicos, tanto a nivel matemático como conceptual. Es por ello que la presente tesis tiene como teoría matemática fundamental detrás la Teoría de la Información, más allá de otros aportes importantes por parte de la Geometría de la Información, la teoría de Sistemas Dinámicos, y la teoría matemática de Análisis de Señales. La presente tesis fluctúa siempre entre el desarrollo de modelos teóricos, tanto a nivel analítico como computacional, y el análisis de datos obtenidos de experimentos, provenientes de diferentes fuentes y con diversas aplicaciones. La presente tesis se trata de realizar aportes al estudio de los problemas actuales en neurociencia, con un énfasis en el estudio de la actividad del cerebro a escala de poblaciones de neuronas. En el capítulo 2 comenzaremos describiendo los resultados obtenidos para el análisis de modelos dinámicos de una única neurona. Se estudiará el inicio del potencial de acción en el modelo de Hodgkin-Huxley, tomando en cuenta la estocasticidad de las corrientes sinápticas que afectan a la neurona. Para resolver la ecuación del modelo estocástico, se utilizará la metodología de Integrales de Camino, una herramienta muy conocida en la física cuántica y en la teoría de procesos estocásticos. En el capítulo 3 se estudiará el modelo de neurona de Izhikevich, caracterizando las series temporales producidas por el mismo, utilizando un método simbólico de análisis de señales desarrollado por Bandt y Pompe. En los capítulos 4 y 5 se estudiarán señales de electroencefalografía en humanos, relacionadas con un experimento visuomotor e imaginativo, utilizando el mismo método simbólico y los mismos cuantificadores del capítulo 3. Esto nos permitirá determinar cuáles son las bandas de frecuencia relacionadas con las tareas realizadas por los participantes del experimento. En el capítulo 6, estudiaremos la misma base de datos del capítulo anterior, primero generando unos grafos a partir de la simbolización de Bandt y Pompe y la divergencia de Jensen-Shannon. Luego, en el capítulo 7, utilizaremos la transformada Wavelet para estudiar la distribución de energía en el espectro de frecuencias en la realización de estas tareas. Ambas técnicas nos permitirán diferenciar entre tareas realizadas e imaginadas. En el capítulo 8 se estudiará un modelo de poblaciones de neuronas que permite generar correlaciones de alto orden a partir de inputs Gaussianos comunes a todas las neuronas. Dicho modelo es el modelo Gaussiano dicotomizado, creado por Amari et al. y estudiado por Macke et al. Dicho modelo presenta una transición de fase, que caracterizamos en este capítulo usando los cumulantes de orden superior, skewness y kurtosis, para develar el mecanismo estadístico que genera dicha transición de fase. En el capítulo 9, se extenderá el modelo Gaussiano dicotomizado del capítulo anterior, a uno donde los inputs estén representados por una distribución asimétrica, es decir, con skewness distinta de cero. Dicha asimetría en los inputs induce otra transición en el sistema, que estudiamos a través de simulaciones y analíticamente en el límite termodinámico. En el capítulo 10 estudiaremos señales eléctricas provenientes de otras técnicas de medición. Se estudiarán los efectos de dos tipos de anestesia sobre ratones, midiendo potenciales visuales evocados usando electrocorticografía, y describiendo los mismos a través de las correlaciones de pares, y de alto orden, entre los sitios de medición.

Tesis (DCI)--FCEFN-UNC, 2016

Un nuevo paradigma en la teoría de muestreo fue desarrollado recientemente. El clásico modelo lineal es reemplazado por un modelo no-lineal pero estructurado, que consiste en una unión de subespacios. Este es el enfoque natural para la nueva teoría de muestreo comprimido, señales con representaciones ralas y con tasa finita de innovación. En esta tesis estudiamos algunos problemas relacionados con el proceso de muestreo en uniones de subespacios. Primero centramos nuestra atención en el problema de hallar una unión de subespacios que mejor aproxime a un conjunto finito de vectores. Utilizamos técnicas de reducción dimensional para disminuir los costos de algoritmos diseñados para hallar uniones de subespacios óptimos. Luego estudiamos el problema de muestreo para señales que pertenecen a una unión de espacios invariantes por traslaciones enteras. Mostramos que las condiciones para la inyectividad y estabilidad del operador de muestreo son válidas en el caso general de espacios invariantes por traslaciones enteras generados por marcos de traslaciones en lugar de bases ortonormales. A raíz del estudio de los problemas mencionados anteriormente, surgen dos cuestiones que están relacionadas con la estructura de los espacios invariantes por traslaciones enteras. La primera es si la suma de dos de estos espacios es un subespacio cerrado. Usando el ángulo de Friedrichs entre subespacios, obtenemos condiciones necesarias y suficientes para que la suma de dos espacios invariantes por traslaciones enteras sea cerrada. En segundo lugar se estudian propiedades de invariancia de espacios invariantes por traslaciones enteras en varias variables. Presentamos condiciones necesarias y suficientes como para que un espacio invariante por traslaciones enteras sea invariante por un subgrupo cerrado de Rd . Además probamos la existencia de espacios invariantes por traslaciones enteras que son exactamente invariantes para un subgrupo cerrado dado. Como aplicación, relacionamos la extra invariancia con el tamaño de los soportes de la transformada de Fourier de los generadores de los espacios.

En este trabajo se resuelven numéricamente por métodos implícitos en diferencias finitas las ecuaciones hiperbólicas casilineales de Saint-Venant del flujo no estacionario unidimensional gradualmente variado de aguas poco profundas sobre superficiales y fondo fijo para sistemas fluviales de tipo arborescente (cuencas) y deltaico en que tienen que considerar las condiciones de compatibilidad de los puntos de confluencia (condiciones de Stoker) Linealizando y discretizando según el método de Preissmann demostraremos que el problema se puede reducir , en cada intervalo temporal de cálculo, a la resolución de un sistema lineal de la forma Ax=b, donde la matriz A tiene una estructura especial rala que facilita su solución: A y b dependen del intervalo temporal, no así la estructura de ceros de A. Dicha estructura es mas complicada en el caso deltaico que en el arborescente, por lo cual es conveniente tratarlos por separado. Se describen además diversos experimentos numéricos realizados, tanto para el caso de de sistemas fluviales arborescentes como de redes complejas deltaicas, incluyendo comparaciones con soluciones analíticas conocidas.

El descubrimiento de una disminución inesperada en los flujos de energía provenientes de supernovas del tipo Ia ha abierto uno de los problemas más enigmáticos y profundos en la cosmología actual. Estas observaciones han si- do interpretadas como evidencia sólida de que la expansión actual del univer- so es acelerada por algo que genéricamente se ha denominado energía oscura. A pesar de que la constante cosmológica parece ser la explicación más sim- ple y más favorecida observacionalmente para el fenómeno de la aceleración, otros escenarios se han estado desarrollando desde el hallazgo en 1998. En esta Tesis se presenta, primeramente, un análisis de modelos elec- trodinámicos no lineales mediante lagrangianos de Born-Infeld aplicados a la propagación de un rayo de luz en un contexto cosmológico, en donde se halla una corrección a la distancia luminosa a una fuente puntual como una manera de estudiar posibles contribuciones al momento de realizar estas ob- servaciones para supernovas del tipo Ia; y en la segunda parte de este trabajo se realiza un repaso de los rasgos carácterísticos de las llamadas teorías f(R) y se presenta una nueva clase de teorías de gravedad modificada, a las que lla- mamos teorías f(LT ), para explicar la aceleración del universo recientemente detectada sin la necesidad de energía oscura. Esta clase de teorías surge a partir de una modificación del lagrangiano del equivalente Teleparalelo de la Relatividad General (TEGR), cuyas ecuaciones de movimiento son siempre de segundo orden en contraste con las ecuaciones de cuarto orden que la mayoría de las mencionadas teorías f(R) posee. Se muestra además que la solución cosmológica estudiada presenta las tres últimas fases cosmológicas esperadas, y a través de un análisis conjunto de datos provenientes de las observaciones más recientes de supernovas del tipo Ia, Radiación Cósmica de Fondo (CMB) y Oscilaciones Acústicas de Bariones (BAO), se ponen cotas para el valor del único parámetro adicional que poseen estas teorías.

La dinámica de quarks se encuentra descrita en el marco del Modelo Estándar por la Cromodinámica Cuántica (QCD), que formalmente es una teoría de campos de gauge no abeliana. En procesos de altas energías la propiedad de libertad asintótica presente en QCD permite obtener predicciones a partir del lagrangiano fundamental de la teoría. Sin embargo, a bajas energías (≤1 GeV) la constante de acoplamiento fuerte aumenta su valor de modo tal que las técnicas perturbativas ya no son aplicables. En este régimen los quarks se encuentran confinados en hadrones, y la simetría quiral se encuentra espontáneamente rota. El empleo de teorías efectivas permite estudiar la fenomenología de las partículas hadrónicas y analizar el comportamiento de la materia fuertemente interactuante en sistemas con temperatura y densidad finitas. En esta Tesis se estudiaron modelos efectivos para la descripción de la interacción fuerte a bajas energías. En particular, se consideraron modelos de quarks relativistas del tipo Nambu-Jona-Lasinio con interacciones no locales para dos sabores de quarks de modo de estudiar la fenomenología de los mesones livianos. Se estudió también el acoplamiento con campos magnéticos externos uniformes, y el efecto de éstos sobre las propiedades de los mesones y las transiciones de fase que sufre la materia hadrónica a temperatura finita.